恒定函数做市商 (Constant Function Market Makers)

本章节复述了 Uniswap V2 的白皮书。理解这些数学原理对于构建类似 Uniswap 的 DEX 至关重要，但如果你在这个阶段没有完全理解，也没关系。

正如我在上一节中提到的，构建 AMM 有不同的方法。我们将专注于并构建一种特定类型的 AMM——恒定函数做市商 (Constant Function Market Maker)。不要被这个长名称吓到！它的核心是一个非常简单的数学公式：

$$x * y = k$$

就是这样，这就是 AMM。

$x$ 和 $y$ 是池合约的储备金——它当前持有的代币数量。k 只是它们的乘积，实际值并不重要。

为什么只有两个储备金，x 和 y? 每个 Uniswap 池只能持有两种代币。我们使用 x 和 y 来指代一个池的储备金，其中 x 是第一种代币的储备金，y 是另一种代币的储备金，顺序无关紧要。

恒定函数公式表示：每次交易后，k 必须保持不变。当交易者进行交易时，他们将一定数量的一种代币放入池中（他们想要出售的代币），并从池中移除一定数量的另一种代币（他们想要购买的代币）。这会改变池的储备金，并且恒定函数公式表示储备金的乘积不得改变。正如我们将在本书中多次看到的那样，这个简单的要求是 Uniswap 如何运作的核心算法。

交易函数 (The Trade Function)

现在我们知道了池是什么，让我们写出交易如何在池中发生的公式：

$$(x + r\Delta x)(y - \Delta y) = k$$

1. 有一个池，其中包含一定数量的代币 0 ($x$) 和一定数量的代币 1 ($y$)
2. 当我们用代币 0 购买代币 1 时，我们将一定数量的代币 0 提供给池（$\Delta x$）。
3. 池给我们一些代币 1 作为交换（$\Delta y$）。
4. 池还从我们提供的代币 0 的数量中收取少量费用 ($r = 1 - \text{swap fee}$)。
5. 代币 0 的储备金发生变化 ($x + r \Delta x$)，代币 1 的储备金也发生变化 ($y - \Delta y$)。
6. 更新后的储备金的乘积必须仍然等于 $k$。

我们将使用代币 0 和代币 1 的符号来表示代币，因为这是它们在代码中被引用的方式。在这一点上，它们中的哪一个是 0，哪一个是 1 并不重要。

我们基本上是将一定数量的代币 0 提供给池，并获得一定数量的代币 1。池的工作是给我们一个以公平价格计算出的正确的代币 1 的数量。这导致我们得出以下结论：池决定交易价格。

定价 (Pricing)

我们如何计算池中代币的价格？

由于 Uniswap 池是独立的智能合约，池中的代币以彼此的价格定价。例如：在 ETH/USDC 池中，ETH 以USDC 的价格定价，USDC 以 ETH 的价格定价。如果 1 ETH 的成本是 1000 USDC，那么 1 USDC 的成本是 0.001 ETH。对于任何其他池也是如此，无论它是否是一个稳定币对 (例如 ETH/BTC)。

在现实世界中，一切都基于 供需规律 来定价。这也适用于 AMM。 我们暂时把需求部分放在一边，专注于供应。

池中代币的价格由代币的供应量决定，即由池持有的代币的储备金数量决定。 代币价格是储备金的简单关系：

$$P_x = \frac{y}{x}, \quad P_y=\frac{x}{y}$$

其中 $P_x$ 和 $P_y$ 是代币相对于另一种代币的价格。

这样的价格被称为 即时价格 (spot prices)，它们只反映当前的市场价格。 然而，实际的交易价格是不同地计算出来的。 这就是我们需要把需求部分带回来的地方。

从供需规律得出结论，高需求会提高价格——这是我们在一个无需许可的系统中需要拥有的属性。当需求高时，我们希望价格高，并且我们可以使用池储备金来衡量需求：您想要从池中移除的代币越多（相对于池的储备金），需求的影响就越大。

让我们回到交易公式，更仔细地看看它：

$$(x + r\Delta x)(y - \Delta y) = xy$$

正如你所看到的，我们可以从中推导出 $\Delta_x$ 和 $\Delta y$，这意味着我们可以根据输入量来计算交易的输出量，反之亦然：

$$\Delta y = \frac{yr\Delta x}{x + r\Delta x}$$ $$\Delta x = \frac{x \Delta y}{r(y - \Delta y)}$$

事实上，这些公式使我们无需计算价格！我们总是可以使用 $\Delta y$ 公式找到输出量（当我们想要出售已知数量的代币时），并且我们总是可以使用 $\Delta x$ 公式找到输入量（当我们想要购买已知数量的代币时）。请注意，这些公式中的每一个都是储备金的关系 ($x/y$ 或 $y/x$)，并且它们也考虑了交易量（前者中的 $\Delta x$ 和后者中的 $\Delta y$）。这些是尊重供需的定价函数。我们甚至不需要计算价格！

以下是你如何从交易函数中推导出上述公式的方法： $$(x + r\Delta x)(y - \Delta y) = xy$$ $$y - \Delta y = \frac{xy}{x + r\Delta x}$$ $$-\Delta y = \frac{xy}{x + r\Delta x} - y$$ $$-\Delta y = \frac{xy - y({x + r\Delta x})}{x + r\Delta x}$$ $$-\Delta y = \frac{xy - xy - y r \Delta x}{x + r\Delta x}$$ $$-\Delta y = \frac{- y r \Delta x}{x + r\Delta x}$$ $$\Delta y = \frac{y r \Delta x}{x + r\Delta x}$$ 以及： $$(x + r\Delta x)(y - \Delta y) = xy$$ $$x + r\Delta x = \frac{xy}{y - \Delta y}$$ $$r\Delta x = \frac{xy}{y - \Delta y} - x$$ $$r\Delta x = \frac{xy - x(y - \Delta y)}{y - \Delta y}$$ $$r\Delta x = \frac{xy - xy + x \Delta y}{y - \Delta y}$$ $$r\Delta x = \frac{x \Delta y}{y - \Delta y}$$ $$\Delta x = \frac{x \Delta y}{r(y - \Delta y)}$$

曲线 (The Curve)

上述计算可能看起来太抽象和枯燥。让我们可视化恒定乘积函数，以更好地理解它是如何工作的。

当绘制时，恒定乘积函数是一个二次双曲线：

其中轴是池的储备金。每笔交易都从曲线上对应于当前储备金比率的点开始。要计算输出量，我们需要在曲线上找到一个新点，该点的 $x$ 坐标为 $x+\Delta x$，即代币 0 的当前储备金 + 我们正在出售的数量。$y$ 的变化是我们将获得的代币 1 的数量。

让我们看一个具体的例子：

1. 紫色线是曲线，轴是池的储备金（注意它们以起始价格相等）。
2. 起始价格是 1。
3. 我们正在出售 200 个代币 0。如果我们只使用起始价格，我们预计会获得 200 个代币 1。
4. 然而，执行价格是 0.666，所以我们只获得 133.333 个代币 1！

这个例子来自 Dan Robinson (Uniswap 的创造者之一) 制作的 Desmos 图表。为了更好地了解它是如何工作的，尝试编写不同的场景并在图表上绘制它们。尝试不同的储备金，并查看当 $\Delta x$ 相对于 $x$ 较小时，输出量如何变化。

传说 Uniswap 是在 Desmos 中发明的。

我猜你一定想知道为什么要使用这样的曲线。它可能看起来像是在惩罚你交易大额。这是真的，这是一个理想的性质！供需规律告诉我们，当需求高（并且供应恒定）时，价格也很高。当需求低时，价格也较低。这就是市场的运作方式。而且，神奇的是，恒定乘积函数实现了这种机制！需求由你想要购买的数量定义，供应是池的储备金。当你想要购买相对于池储备金的大量时，价格高于你想购买少量时。如此简单的公式保证了如此强大的机制！

即使 Uniswap 不计算交易价格，我们仍然可以在曲线上看到它们。令人惊讶的是，在进行交易时有多个价格：

1. 在交易之前，有一个 即时价格 (spot price)。它等于储备金的关系，$\frac{y}{x}$ 或 $\frac{x}{y}$，具体取决于交易的方向。这个价格也是 切线的斜率 在起始点。
2. 交易后，有一个新的即时价格，在曲线上不同的点。它是这个新点处切线的斜率。
3. 实际的交易价格是连接这两个点的线的斜率！

这就是 Uniswap 的全部数学原理！呼！

好吧，这是 Uniswap V2 的数学原理，而我们正在学习 Uniswap V3。所以在下一部分中，我们将看到 Uniswap V3 的数学原理有何不同。