本文介绍了GKR协议，一种用于验证算术电路计算正确性的交互式证明系统。该协议首先将电路分解为各个门的计算验证，然后利用多项式编码和多线性扩展将问题转化为Sum-Check协议，从而实现对电路计算的快速验证。GKR协议在验证深度较浅的电路时具有优势，但证明者的计算成本较高。

本文主要介绍了以太坊区块链的演进过程，包括从PoW到PoS的共识机制转变，以及为实现可扩展性而采取的Danksharding策略。文章还提到了以太坊面临的未来挑战，如量子计算，以及应对这些挑战的策略，强调了在区块链系统演进中采取谨慎和有计划方法的重要性。

本文探讨了区块链中数据可用性的问题，以及如何通过链下存储（如IPFS和Pinata）和数据可用性层（如Celestia）来解决。Celestia 采用数据可用性抽样（DAS）技术，使用户能够在不下载完整块的情况下验证区块链数据，从而降低了验证成本并提高了去中心化程度。文章还提到了以太坊在数据可用性方面的进展，例如Proto-danksharding和PeerDAS。

本文介绍了多线性扩展（MLE）的概念及其在零知识证明中的应用。文章解释了如何将布尔超立方体视为编码信息的方式，并如何使用多线性扩展将定义在布尔超立方体上的多元函数转换为多元多项式，同时保持在超立方体上的一致性，并扩展到超立方体之外。此外，文章还讨论了多线性扩展的唯一性、计算方法以及Schwartz-Zippel引理，为后续将电路与求和检验结合奠定基础。

本文介绍了使用电路（特别是算术电路）来表示计算，并探讨了如何使用sum-check协议来证明电路满足性问题的计数版本（SAT）。通过将布尔电路转换为算术电路，可以将电路中的门表示为多项式，从而可以使用sum-check协议来验证解的数量。

本文介绍了有限域和多项式的基本概念，特别是有限域上的模运算和多项式的构建。重点讲解了如何使用拉格朗日插值法，通过给定的一组评估点来重构原始多项式，从而实现信息的编码与表示。这些数学工具是构建现代零知识证明系统的基础。

本文介绍了零知识证明（ZKP）领域中的Sum-Check协议，该协议允许证明者向验证者证明一个多元多项式在布尔超立方体上的求和结果，验证者通过多轮交互和挑战来验证结果的正确性。该协议是构建更复杂零知识证明系统的基础，文中还讨论了协议的完整性和可靠性，并对其计算成本进行了简要分析。

本文是关于零知识证明（ZK proofs）系列文章的开篇，旨在以更易于理解的方式介绍这一主题。文章首先解释了零知识证明的概念，即在不泄露任何额外信息的情况下，使某人相信某个陈述是真实的。然后，讨论了如何检验计算的正确性，并介绍了交互式证明系统（IP）及其完整性和可靠性。最后，文章指出零知识是这些证明系统可以具备的一个附加属性，用于保护敏感信息。

本文介绍了在实际应用中使用的椭圆曲线，重点介绍了SECP家族的secp256k1曲线（比特币和以太坊使用），以及Montgomery形式的Curve25519和 Twisted Edwards 形式的Ed25519，最后探讨了配对友好曲线，如BLS12-381，用于以太坊2.0等。文章还提到了寻找满足特定条件的曲线的复杂性，以及复乘法（CM）方法。

本文深入探讨了零知识证明（ZK）在区块链中的应用，涵盖了其基本概念、可验证计算，以及在扩展性、隐私性和混合方法上的应用。文章还介绍了像Mina这样采用独特方式使用ZK技术的区块链项目，强调了ZK技术在推动区块链创新方面的潜力。