深入解析 Uniswap V2 的手续费计算：公式推导与代码详解

Uniswap V2 的手续费计算

1. 通过增发 share 的方式把手续费给项目方

$$ x \cdot y = k $$

$$ L = \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{k} $$

$$ \frac{Sm}{Sm + S1} = \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k2}} $$

求 Sm

我们需要从方程

$$ \frac{Sm}{Sm + S1} = \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k2}} $$ 中解出 Sm。

解题步骤

1. 整理方程：

   从方程中我们可以得到： $$ \frac{Sm}{Sm + S1} = \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k2}} $$

2. 交叉相乘：

   将分数的两边交叉相乘，得到： $$ Sm \cdot \sqrt{k2} = (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot (Sm + S1) $$

3. 展开右侧：

   展开右侧的括号： $$ Sm \cdot \sqrt{k2} = (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot Sm + (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$

4. 将 ( Sm ) 相关项移到一边：

   将含 ( Sm ) 的项移到方程的一侧： $$ Sm \cdot \sqrt{k2} - (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot Sm = (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$

5. 提取 ( Sm )：

   提取 ( Sm )： $$ Sm \cdot (\sqrt{k2} - (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})) = (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$ 简化括号中的表达式： $$ \sqrt{k2} - (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) = \sqrt{k1} $$ 所以： $$ Sm \cdot \sqrt{k1} = (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$

6. 解出 Sm ：

   通过除以$\sqrt{k1}$解出Sm：

   $$ Sm = \frac{(\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1}{\sqrt{k1}} $$

最终结果

$$ Sm = \frac{(\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1}{\sqrt{k1}} $$

2. 通过使 S1 增值的方式把手续费给 LP

原来 S1 => $\sqrt{k1}$

现在 S1 = $\sqrt{k2}$

增值比例 $$ \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k1}} $$ LP Token

1 LPT => $(1 + \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k1}})$ $\sqrt{k2}$ > $\sqrt{k1}$

1 LPT => 1 token A => $(1 + \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k1}})$ token A

1 LPT => 1 token B => $(1 + \frac{\sqrt{k2} - \sqrt{k1}}{\sqrt{k1}})$ token B

3. 项目方想分走手续费里的一定比例，该比例用 $\Phi$ 表示

Uniswap V2 的手续费计算

增值又增发

$$ \frac{Sm}{Sm + S1} = \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})}{\sqrt{k2}} $$

求 Sm

我们通过以下步骤来推导：

原始公式

原始公式是：

$$ \frac{Sm}{Sm + S1} = \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})}{\sqrt{k2}} $$

交叉相乘

首先，将公式两边交叉相乘以消除分母：

$$ Sm \cdot \sqrt{k2} = \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot (Sm + S1) $$

展开和重新排列

展开右侧的表达式：

$$ Sm \cdot \sqrt{k2} = \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot Sm + \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$ 将包含 ( Sm ) 的项移到一边：

$$ Sm \cdot \sqrt{k2} - \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot Sm = \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$ 提取 ( Sm )：

$$ Sm \cdot \left(\sqrt{k2} - \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1})\right) = \phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1 $$

简化

分母部分可以简化为：

$$ \sqrt{k2} - \phi \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1} $$ 进一步简化为：

$$ \left(1 - \phi\right) \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1} $$

求解 ( Sm )

将分母形式替换回公式中，得到：

$$ Sm = \frac{\phi \cdot (\sqrt{k2} - \sqrt{k1}) \cdot S1}{\left(1 - \phi\right) \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1}} $$

将分母部分进行化简

我们需要将分母部分调整成适当的形式。可以通过对分母进行重新表达来实现这一点：

$$ (1 - \phi) \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1} $$ 首先，我们从分母部分开始：

$$ (1 - \phi) \cdot \sqrt{k2} + \phi \cdot \sqrt{k1} $$ 为了将其变形为$ \frac{1}{\phi} - 1$ 的形式，我们可以使用以下变换：

1. 计算 $\frac{1}{\phi} - 1$:

这两个表达式相等的原因可以通过简单的代数变换来解释。我们将证明以下等式：

$$ \frac{1}{\phi} - 1 = \frac{1 - \phi}{\phi} $$

证明过程

1. 开始于左侧表达式:

   $$ \frac{1}{\phi} - 1 $$

2. 将 1 变成分母为 $\phi$的分数:

   我们知道 1 可以写成 $\frac{\phi}{\phi}$。因此，我们有：

   $$ \frac{1}{\phi} - 1 = \frac{1}{\phi} - \frac{\phi}{\phi} $$

3. 合并分数:

   为了合并这两个分数，我们需要它们具有相同的分母。现在它们都有分母 (\phi)，可以合并为一个分数：

   $$ \frac{1 - \phi}{\phi} $$

总结

通过代数变换，我们可以看到：

$$ \frac{1}{\phi} - 1 = \frac{1 - \phi}{\phi} $$ 这说明这两个表达式是相等的。...