区块链中的数学（八十三）-- MMCS（Mixed Matrix Commitment Scheme）

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发布于 2025-06-22 21:26
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在零知识证明（如FRI、STARK等）和多项式承诺场景中，我们经常需要对多个矩阵的数据进行批量承诺和验证。

## 写在前面

在零知识证明（如 FRI、STARK 等）和多项式承诺场景中，我们经常需要对**多个矩阵**的数据进行批量承诺和验证。传统的 Merkle Tree 主要用于向量（单列数据）的承诺，但在实际工程中，我们常常需要对**不同高度、不同宽度的多个矩阵**进行统一承诺和高效验证。\
这就是 MMCS（Mixed Matrix Commitment Scheme，多矩阵承诺方案）的设计初衷。

接下来将系统介绍 MMCS 的原理、与 Merkle Tree 的结合方式、核心代码结构，并通过具体例子说明其用途。

***

## 1.  What is MMCS ？

MMCS（Mixed Matrix Commitment Scheme）是一种**支持批量承诺多个矩阵**的通用接口（trait），它的目标是：

* 支持不同高度、不同宽度的矩阵一起承诺
* 支持批量打开和验证
* 高效、安全，适合零知识证明等高性能场景

在 Rust 代码中，MMCS 的 trait 定义如下：\
Note: 本文代码主要基于plonky3代码实现。

```
pub trait Mmcs<T: Send + Sync>: Clone {
    type ProverData<M>;
    type Commitment: Clone + Serialize + DeserializeOwned;
    type Proof: Clone + Serialize + DeserializeOwned;
    type Error: Debug;

fn commit<M: Matrix<T>>(&self, inputs: Vec<M>) -> (Self::Commitment, Self::ProverData<M>);
    fn open_batch<M: Matrix<T>>(
        &self,
        index: usize,
        prover_data: &Self::ProverData<M>,
    ) -> (Vec<Vec<T>>, Self::Proof);
    fn verify_batch(
        &self,
        commit: &Self::Commitment,
        dimensions: &[Dimensions],
        index: usize,
        opened_values: &[Vec<T>],
        proof: &Self::Proof,
    ) -> Result<(), Self::Error>;
}
```

***

## 2. Why MMCS ？

为什么要用 MMCS 而不是直接用 Merkle Tree PCS？传统 Merkle Tree 只适合对**单个向量**（一维数据）做承诺。如果直接用它来承诺多个矩阵，会遇到：

* 需要管理多棵树，难以批量操作
* 不同高度、宽度的矩阵难以统一索引和验证
* 性能和接口都不友好

MMCS 通过**抽象接口+灵活实现**，让我们可以用一棵 Merkle Tree 承诺多个异构矩阵，并且支持批量打开和验证。

***

## 3. How MMCS + Merkle Tree

### 3.1 叶子节点的构造

* 每个矩阵的每一行，作为一个叶子节点
* 不同矩阵的行可以有不同长度（列数）
* 每个叶子节点整体 hash（如 `H([a11, a12, a13])`）

### 3.2 不同高度矩阵的"锯齿式"动态注入

* 先把所有矩阵按高度从大到小排列
* 构建 Merkle Tree 时，每一层如果有新高度的矩阵，就在该层"注入"它们的行 hash
* 这样可以保证所有矩阵都被承诺到同一棵树里

### 3.3 索引对齐

* 打开第 `index` 行时，每个矩阵要通过右移（`>>`）对齐到自己的实际行
* 例如：最大高度为 4，B 只有 2 行，打开 index=1 时，B 实际取第 `1 >> 1 = 0` 行

***

## 4. Examples

### 4.1 单列矩阵

假设有：

* A：4 行
* B：2 行
* C：1 行

打开 index=1 时：

* A：取第 1 行（a2）
* B：取第 1>>1=0 行（b1）
* C：取第 1>>2=0 行（c1）

### 4.2 多列矩阵

假设有：

* A：4×3
* B：2×2
* C：1×5

打开 index=1 时：

* A：取 `[a21, a22, a23]`
* B：取 `[b11, b12]`
* C：取 `[c11, c12, c13, c14, c15]`

每一行整体 hash，作为叶子节点。

***

## 5. Merkle Tree build & injection

```
         ┌───────────── Root ─────────────┐
         │                               │
      compress(hA, hB)                H(c1)
       /           \                    
   hA              hB
  /  \            /  \
hA1  hA2      H(b1) H(b2)
 / \  / \
H(a1) H(a2) H(a3) H(a4)
```

* hA1 = compress(H(a1), H(a2))
* hA2 = compress(H(a3), H(a4))
* hA = compress(hA1, hA2)
* hB = compress(H(b1), H(b2))
* Root = compress(hA, hB)，再和 H(c1) 合成最终根

***

## 6. open_batch & verify_batch

### open_batch

* 输入：逻辑行索引 index
* 输出：每个矩阵实际要打开的那一行数据 + Merkle proof
* 过程：对每个矩阵，计算 reduced_index = index >> (log2(max_height) - log2(matrix.height))，取对应行

### verify_batch

* 输入：承诺（根 hash）、dimensions、index、opened_values、proof
* 过程：对 opened_values 逐行 hash，和 proof 里的 sibling hash 逐层合成，最终比对根 hash 是否等于承诺

***

## 7. 不同宽度（列数）如何处理？

* 每一行整体 hash，不管有几列
* hash 函数必须支持变长输入（如 Poseidon、Blake3、SHA256 等）
* Merkle Tree 的结构和 proof 逻辑不变

***

## 8. 代码片段（伪代码）

```
// 承诺
let (commitment, prover_data) = mmcs.commit(vec![matrix_a, matrix_b, matrix_c]);

// 打开第 index 行
let (opened_values, proof) = mmcs.open_batch(index, &prover_data);

// 验证
mmcs.verify_batch(&commitment, &dimensions, index, &opened_values, &proof)?;
```

***

## 9. 核心代码结构

### 9.1 MMCS Trait 定义

```
// commit/src/mmcs.rs
pubtrait Mmcs<T: Send + Sync>: Clone {
    type ProverData<M>;
    type Commitment: Clone + Serialize + DeserializeOwned;
    type Proof: Clone + Serialize + DeserializeOwned;
    type Error: Debug;

### 9.2 MerkleTreeMmcs 实现

```
// merkle-tree/src/mmcs.rs
impl<P, PW, H, C, const DIGEST_ELEMS: usize> Mmcs<P::Value>
    for MerkleTreeMmcs<P, PW, H, C, DIGEST_ELEMS>
{
    type ProverData<M> = MerkleTree<P::Value, PW::Value, M, DIGEST_ELEMS>;
    type Commitment = Hash<P::Value, PW::Value, DIGEST_ELEMS>;
    type Proof = Vec<[PW::Value; DIGEST_ELEMS]>;
    type Error = MerkleTreeError;

fn commit<M: Matrix<P::Value>>(
        &self,
        inputs: Vec<M>,
    ) -> (Self::Commitment, Self::ProverData<M>) {
        let tree = MerkleTree::new::<P, PW, H, C>(&self.hash, &self.compress, inputs);
        let root = tree.root();
        (root, tree)
    }

fn open_batch<M: Matrix<P::Value>>(
        &self,
        index: usize,
        prover_data: &MerkleTree<P::Value, PW::Value, M, DIGEST_ELEMS>,
    ) -> (Vec<Vec<P::Value>>, Vec<[PW::Value; DIGEST_ELEMS]>) {
        let max_height = self.get_max_height(prover_data);
        let log_max_height = log2_ceil_usize(max_height);

let openings = prover_data
            .leaves
            .iter()
            .map(|matrix| {
                let log2_height = log2_ceil_usize(matrix.height());
                let bits_reduced = log_max_height - log2_height;
                let reduced_index = index >> bits_reduced;
                matrix.row(reduced_index).collect()
            })
            .collect_vec();

let proof: Vec<_> = (0..log_max_height)
            .map(|i| prover_data.digest_layers[i][(index >> i) ^ 1])
            .collect();

(openings, proof)
    }
}
```

### 9.3 MerkleTree 数据结构

```
// merkle-tree/src/merkle_tree.rs
#[derive(Debug, Serialize, Deserialize)]
pub struct MerkleTree<F, W, M, const DIGEST_ELEMS: usize> {
    pub(crate) leaves: Vec<M>,
    pub(crate) digest_layers: Vec<Vec<[W; DIGEST_ELEMS]>>,
    _phantom: PhantomData<F>,
}
```

***

## 10. 实际应用场景

### 10.1 在 FRI 协议中的应用

```
// fri/src/two_adic_pcs.rs
pub struct TwoAdicFriPcs<Val, Dft, InputMmcs, FriMmcs> {
    dft: Dft,
    mmcs: InputMmcs,  // 通常是 MerkleTreeMmcs
    fri: FriConfig<FriMmcs>,
    _phantom: PhantomData<Val>,
}

impl<Val, Dft, InputMmcs, FriMmcs> TwoAdicFriPcs<Val, Dft, InputMmcs, FriMmcs> {
    fn commit(&self, evaluations: Vec<(Self::Domain, RowMajorMatrix<Val>)>) -> (Self::Commitment, Self::ProverData) {
        // 使用 MMCS 进行承诺
        self.mmcs.commit(ldes)
    }
}
```

### 10.2 在 STARK 中的应用

```
// 多个多项式评估的批量承诺
let fri_polynomials = vec![
    (domain1, trace_matrix),      // 执行轨迹
    (domain2, constraint_matrix), // 约束多项式
    (domain3, quotient_matrix),   // 商多项式
];

// 使用 MMCS 一次性承诺所有多项式
let (commitment, prover_data) = mmcs.commit(polynomial_matrices);
```

***

## 11. 性能优化

### 11.1 并行处理

```
// merkle-tree/src/merkle_tree.rs
digests[0..max_height]
    .par_chunks_exact_mut(width)
    .enumerate()
    .for_each(|(i, digests_chunk)| {
        // 并行计算哈希
        let packed_digest: [PW; DIGEST_ELEMS] = h.hash_iter(
            tallest_matrices
                .iter()
                .flat_map(|m| m.vertically_packed_row(first_row)),
        );
    });
```

### 11.2 打包操作

```
// 支持字段打包，提高内存效率
let packed_digest: [PW; DIGEST_ELEMS] = h.hash_iter(
    tallest_matrices
        .iter()
        .flat_map(|m| m.vertically_packed_row(first_row)),
);
```

***

## 12. 常见问题解答

### Q1：MMCS 和 Merkle Tree 是什么关系？

* MMCS 是抽象接口，Merkle Tree 是一种高效的具体实现。

### Q2：为什么不用多个 Merkle Tree？

* 多个树难以批量操作和统一索引，MMCS 让一棵树就能承诺所有矩阵。

### Q3：索引对齐是怎么工作的？

* 通过右移操作（>>）将逻辑索引映射到每个矩阵的实际行索引。这一点是跟单个Merkle Tree承诺很不同的操作， 是因为多个矩阵可能具有不能的高度（或者称为行数），这个操作决定了每个矩阵在Merkle Tree中的哪一层layer。着就是伪代码中有个dimension结构， 保存了每个matrix的维度信息。

***

## 13. 小结

MMCS + Merkle Tree 的设计极大提升了多矩阵承诺的灵活性和效率，主要优势包括：

1. **统一接口**：支持不同高度、宽度的矩阵批量承诺
2. **高效验证**：一棵树支持所有矩阵的批量打开和验证，这种设计比单纯的使用多个Merkle Tree 承诺要高效
3. **性能优化**：支持并行处理和字段打包
4. **安全性**：基于成熟的 Merkle Tree 密码学原理

***

## 参考资料

* \[Plonky3 GitHub Repository]\(https\://github.com/0xPolygonZero/plonky3)
* \[Merkle Tree Wikipedia]\(https\://en.wikipedia.org/wiki/Merkle_tree)
* \[FRI Protocol Paper]\(https\://eprint.iacr.org/2017/573)
* \[STARK Protocol Paper]\(https\://eprint.iacr.org/2018/046)

写在前面

在零知识证明（如 FRI、STARK 等）和多项式承诺场景中，我们经常需要对多个矩阵的数据进行批量承诺和验证。传统的 Merkle Tree 主要用于向量（单列数据）的承诺，但在实际工程中，我们常常需要对不同高度、不同宽度的多个矩阵进行统一承诺和高效验证。\ 这就是 MMCS（Mixed Matrix Commitment Scheme，多矩阵承诺方案）的设计初衷。

接下来将系统介绍 MMCS 的原理、与 Merkle Tree 的结合方式、核心代码结构，并通过具体例子说明其用途。

1. What is MMCS ？

MMCS（Mixed Matrix Commitment Scheme）是一种支持批量承诺多个矩阵的通用接口（trait），它的目标是：

支持不同高度、不同宽度的矩阵一起承诺
支持批量打开和验证
高效、安全，适合零知识证明等高性能场景

在 Rust 代码中，MMCS 的 trait 定义如下：\ Note: 本文代码主要基于plonky3代码实现。

pub trait Mmcs&lt;T: Send + Sync>: Clone {
    type ProverData&lt;M>;
    type Commitment: Clone + Serialize + DeserializeOwned;
    type Proof: Clone + Serialize + DeserializeOwned;
    type Error: Debug;

    fn commit&lt;M: Matrix&lt;T>>(&self, inputs: Vec&lt;M>) -> (Self::Commitment, Self::ProverData&lt;M>);
    fn open_batch&lt;M: Matrix&lt;T>>(
        &self,
        index: usize,
        prover_data: &Self::ProverData&lt;M>,
    ) -> (Vec&lt;Vec&lt;T>>, Self::Proof);
    fn verify_batch(
        &self,
        commit: &Self::Commitment,
        dimensions: &[Dimensions],
        index: usize,
        opened_values: &[Vec&lt;T>],
        proof: &Self::Proof,
    ) -> Result&lt;(), Self::Error>;
}

2. Why MMCS ？

为什么要用 MMCS 而不是直接用 Merkle Tree PCS？传统 Merkle Tree 只适合对单个向量（一维数据）做承诺。如果直接用它来承诺多个矩阵，会遇到：

需要管理多棵树，难以批量操作
不同高度、宽度的矩阵难以统一索引和验证
性能和接口都不友好

MMCS 通过抽象接口+灵活实现，让我们可以用一棵 Merkle Tree 承诺多个异构矩阵，并且支持批量打开和验证。

3. How MMCS + Merkle Tree

3.1 叶子节点的构造

每个矩阵的每一行，作为一个叶子节点
不同矩阵的行可以有不同长度（列数）
每个叶子节点整体 hash（如 H([a11, a12, a13])）

3.2 不同高度矩阵的"锯齿式"动态注入

先把所有矩阵按高度从大到小排列
构建 Merkle Tree 时，每一层如果有新高度的矩阵，就在该层"注入"它们的行 hash
这样可以保证所有矩阵都被承诺到同一棵树里

3.3 索引对齐

打开第 index 行时，每个矩阵要通过右移（>>）对齐到自己的实际行
例如：最大高度为 4，B 只有 2 行，打开 index=1 时，B 实际取第 1 >> 1 = 0 行

4. Examples

4.1 单列矩阵

假设有：

A：4 行
B：2 行
C：1 行

打开 index=1 时：

A：取第 1 行（a2）
B：取第 1>>1=0 行（b1）
C：取第 1>>2=0 行（c1）

4.2 多列矩阵

假设有：

A：4×3
B：2×2
C：1×5

打开 index=1 时：

A：取 [a21, a22, a23]
B：取 [b11, b12]
C：取 [c11, c12, c13, c14, c15]

每一行整体 hash，作为叶子节点。

5. Merkle Tree build & injection

         ┌───────────── Root ─────────────┐
         │                               │
      compress(hA, hB)                H(c1)
       /           \                    
   hA              hB
  /  \            /  \
hA1  hA2      H(b1) H(b2)
 / \  / \
H(a1) H(a2) H(a3) H(a4)

hA1 = compress(H(a1), H(a2))
hA2 = compress(H(a3), H(a4))
hA = compress(hA1, hA2)
hB = compress(H(b1), H(b2))
Root = compress(hA, hB)，再和 H(c1) 合成最终根

6. open_batch & verify_batch

open_batch

输入：逻辑行索引 index
输出：每个矩阵实际要打开的那一行数据 + Merkle proof
过程：对每个矩阵，计算 reduced_index = index >> (log2(max_height) - log2(matrix.height))，取对应行

verify_batch

输入：承诺（根 hash）、dimensions、index、opened_values、proof
过程：对 opened_values 逐行 hash，和 proof 里的 sibling hash 逐层合成，最终比对根 hash 是否等于承诺

7. 不同宽度（列数）如何处理？

每一行整体 hash，不管有几列
hash 函数必须支持变长输入（如 Poseidon、Blake3、SHA256 等）
Merkle Tree 的结构和 proof 逻辑不变

8. 代码片段（伪代码）

// 承诺
let (commitment, prover_data) = mmcs.commit(vec![matrix_a, matrix_b, matrix_c]);

// 打开第 index 行
let (opened_values, proof) = mmcs.open_batch(index, &prover_data);

// 验证
mmcs.verify_batch(&commitment, &dimensions, index, &opened_values, &proof)?;

9. 核心代码结构

9.1 MMCS Trait 定义

// commit/src/mmcs.rs
pubtrait Mmcs&lt;T: Send + Sync>: Clone {
    type ProverData&lt;M>;
    type Commitment: Clone + Serialize + DeserializeOwned;
    type Proof: Clone + Serialize + DeserializeOwned;
    type Error: Debug;

    fn commit&lt;M: Matrix&lt;T>>(&self, inputs: Vec&lt;M>) -> (Self::Commitment, Self::ProverData&lt;M>);
    fn open_batch&lt;M: Matrix&lt;T>>(
        &self,
        index: usize,
        prover_data: &Self::ProverData&lt;M>,
    ) -> (Vec&lt;Vec&lt;T>>, Self::Proof);
    fn verify_batch(
        &self,
        commit: &Self::Commitment,
        dimensions: &[Dimensions],
        index: usize,
        opened_values: &[Vec&lt;T>],
        proof: &Self::Proof,
    ) -> Result&lt;(), Self::Error>;
}

9.2 MerkleTreeMmcs 实现

// merkle-tree/src/mmcs.rs
impl&lt;P, PW, H, C, const DIGEST_ELEMS: usize> Mmcs&lt;P::Value>
    for MerkleTreeMmcs&lt;P, PW, H, C, DIGEST_ELEMS>
{
    type ProverData&lt;M> = MerkleTree&lt;P::Value, PW::Value, M, DIGEST_ELEMS>;
    type Commitment = Hash&lt;P::Value, PW::Value, DIGEST_ELEMS>;
    type Proof = Vec&lt;[PW::Value; DIGEST_ELEMS]>;
    type Error = MerkleTreeError;

    fn commit&lt;M: Matrix&lt;P::Value>>(
        &self,
        inputs: Vec&lt;M>,
    ) -> (Self::Commitment, Self::ProverData&lt;M>) {
        let tree = MerkleTree::new::&lt;P, PW, H, C>(&self.hash, &self.compress, inputs);
        let root = tree.root();
        (root, tree)
    }

    fn open_batch&lt;M: Matrix&lt;P::Value>>(
        &self,
        index: usize,
        prover_data: &MerkleTree&lt;P::Value, PW::Value, M, DIGEST_ELEMS>,
    ) -> (Vec&lt;Vec&lt;P::Value>>, Vec&lt;[PW::Value; DIGEST_ELEMS]>) {
        let max_height = self.get_max_height(prover_data);
        let log_max_height = log2_ceil_usize(max_height);

        let openings = prover_data
            .leaves
            .iter()
            .map(|matrix| {
                let log2_height = log2_ceil_usize(matrix.height());
                let bits_reduced = log_max_height - log2_height;
                let reduced_index = index >> bits_reduced;
                matrix.row(reduced_index).collect()
            })
            .collect_vec();

        let proof: Vec&lt;_> = (0..log_max_height)
            .map(|i| prover_data.digest_layers[i][(index >> i) ^ 1])
            .collect();

        (openings, proof)
    }
}

9.3 MerkleTree 数据结构

// merkle-tree/src/merkle_tree.rs
#[derive(Debug, Serialize, Deserialize)]
pub struct MerkleTree&lt;F, W, M, const DIGEST_ELEMS: usize> {
    pub(crate) leaves: Vec&lt;M>,
    pub(crate) digest_layers: Vec&lt;Vec&lt;[W; DIGEST_ELEMS]>>,
    _phantom: PhantomData&lt;F>,
}

10. 实际应用场景

10.1 在 FRI 协议中的应用

// fri/src/two_adic_pcs.rs
pub struct TwoAdicFriPcs&lt;Val, Dft, InputMmcs, FriMmcs> {
    dft: Dft,
    mmcs: InputMmcs,  // 通常是 MerkleTreeMmcs
    fri: FriConfig&lt;FriMmcs>,
    _phantom: PhantomData&lt;Val>,
}

impl&lt;Val, Dft, InputMmcs, FriMmcs> TwoAdicFriPcs&lt;Val, Dft, InputMmcs, FriMmcs> {
    fn commit(&self, evaluations: Vec&lt;(Self::Domain, RowMajorMatrix&lt;Val>)>) -> (Self::Commitment, Self::ProverData) {
        // 使用 MMCS 进行承诺
        self.mmcs.commit(ldes)
    }
}

10.2 在 STARK 中的应用

// 多个多项式评估的批量承诺
let fri_polynomials = vec![
    (domain1, trace_matrix),      // 执行轨迹
    (domain2, constraint_matrix), // 约束多项式
    (domain3, quotient_matrix),   // 商多项式
];

// 使用 MMCS 一次性承诺所有多项式
let (commitment, prover_data) = mmcs.commit(polynomial_matrices);

11. 性能优化

11.1 并行处理

// merkle-tree/src/merkle_tree.rs
digests[0..max_height]
    .par_chunks_exact_mut(width)
    .enumerate()
    .for_each(|(i, digests_chunk)| {
        // 并行计算哈希
        let packed_digest: [PW; DIGEST_ELEMS] = h.hash_iter(
            tallest_matrices
                .iter()
                .flat_map(|m| m.vertically_packed_row(first_row)),
        );
    });

11.2 打包操作

// 支持字段打包，提高内存效率
let packed_digest: [PW; DIGEST_ELEMS] = h.hash_iter(
    tallest_matrices
        .iter()
        .flat_map(|m| m.vertically_packed_row(first_row)),
);

12. 常见问题解答

Q1：MMCS 和 Merkle Tree 是什么关系？

MMCS 是抽象接口，Merkle Tree 是一种高效的具体实现。

Q2：为什么不用多个 Merkle Tree？

多个树难以批量操作和统一索引，MMCS 让一棵树就能承诺所有矩阵。

Q3：索引对齐是怎么工作的？

通过右移操作（>>）将逻辑索引映射到每个矩阵的实际行索引。这一点是跟单个Merkle Tree承诺很不同的操作，是因为多个矩阵可能具有不能的高度（或者称为行数），这个操作决定了每个矩阵在Merkle Tree中的哪一层layer。着就是伪代码中有个dimension结构，保存了每个matrix的维度信息。

13. 小结

MMCS + Merkle Tree 的设计极大提升了多矩阵承诺的灵活性和效率，主要优势包括：

统一接口：支持不同高度、宽度的矩阵批量承诺
高效验证：一棵树支持所有矩阵的批量打开和验证，这种设计比单纯的使用多个Merkle Tree 承诺要高效
性能优化：支持并行处理和字段打包
安全性：基于成熟的 Merkle Tree 密码学原理

参考资料

[Plonky3 GitHub Repository](https\://github.com/0xPolygonZero/plonky3)
[Merkle Tree Wikipedia](https\://en.wikipedia.org/wiki/Merkle_tree)
[FRI Protocol Paper](https\://eprint.iacr.org/2017/573)
[STARK Protocol Paper](https\://eprint.iacr.org/2018/046)

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学分: 0
分类: 密码学
标签: MMCS zk

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区块链中的数学（八十三）-- MMCS（Mixed Matrix Commitment Scheme）

写在前面

1. What is MMCS ？

2. Why MMCS ？

3. How MMCS + Merkle Tree

3.1 叶子节点的构造

3.2 不同高度矩阵的"锯齿式"动态注入

3.3 索引对齐

4. Examples

4.1 单列矩阵

4.2 多列矩阵

5. Merkle Tree build & injection

6. open_batch & verify_batch

open_batch

verify_batch

7. 不同宽度（列数）如何处理？

8. 代码片段（伪代码）

9. 核心代码结构

9.1 MMCS Trait 定义

9.2 MerkleTreeMmcs 实现

9.3 MerkleTree 数据结构

10. 实际应用场景

10.1 在 FRI 协议中的应用

10.2 在 STARK 中的应用

11. 性能优化

11.1 并行处理

11.2 打包操作

12. 常见问题解答

Q1：MMCS 和 Merkle Tree 是什么关系？

Q2：为什么不用多个 Merkle Tree？

Q3：索引对齐是怎么工作的？

13. 小结

参考资料

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